jueves, 6 de mayo de 2010

HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES.apuntes



¿Por qué usaban los egipcios solo fracciones unitarias en sus cálculos?

Salvo la excepcionalidad constituida por el 2/3 y la más tardía del 3/4, los escribas egipcios sólo utilizaron en sus cálculos fracciones de la forma 1/n. Se han dado diferentes teorías para justificar el uso de este tipo de fracciones en Egipto. Para explicar por qué hay que remitirse al origen funcional de las fracciones, es decir, los contextos y situaciones en que se inscribe su uso.

En matemática moderna se emplea el uso de fracciones unitarias en determinadas situaciones, y el argumento más convincente para el empleo por parte de los egipcios es la facilidad de dividir un todo en n partes.

Básicamente, la fracción surge en un contexto de medida y en otro de reparto. Supóngase un ejercicio sencillo como dividir dos panes entre ocho personas. Para hacerlo, basta dividir cada uno en cuatro partes (1/4). Más sencillo de efectuar en la práctica sería el dividir cada pan en dos partes iguales y cada una de estas partes en otras dos (1/2 de 1/2 es igual a 1/4).

La acción de reparto es particularmente sencilla por este procedimiento de divisiones sucesivas por la mitad, lo que es el motivo de que las fracciones de Horus (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64) hayan sido de uso tan frecuente.

La cuestión se complica si el número de personas entre las que hay que repartir los dos panes es distinto de una potencia de dos. Dividir dos panes entre seis personas, por ejemplo, supondría partir cada pan en dos partes y cada una de ellas en tres partes iguales (1/3 de 1/2 es igual a 1/6).

Pero ¿qué sucede cuando el número de personas es impar?. Por ejemplo, dividir dos panes entre cinco personas
En este caso, se puede dividir
cada pan en tres partes iguales de manera que, en un primer reparto, se da 1/3 de pan a cada persona. Con ello sobraría una de las tres partes correspondiente a un pan que, a su vez, habría que dividir en cinco partes iguales para repartir por igual. Cada uno de los trozos resultante supondría 1/5 de 1/3 de pan, es decir, 1/15 de pan.
En resumen, cada persona no se llevaría 2/5 de pan sino 1/3 + 1/15 , lo que lleva a establecer para el escriba egipcio igualdad: 2/5 = 1/3 + 1/15

Dividir tres panes entre cinco personas. Nosotros aceptamos que a cada persona le corresponde exactamente 3/5 del total, pero si aplicamos el método de fracciones unitarias a 3/5 obtenemos 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15 por lo que para empezar podemos dividir un pan en tres partes iguales, los otros 2 en 5 partes y luego cada una de las 5 partes de uno de estos últimos la dividimos a su vez en 3 partes.

Este concepto es más sencillo para un niño que fácilmente aprende a dividir un todo en n partes iguales y tomar una de ellas que un intento de aplicar 3/5 directamente o bien como suma de 2/5 + 1/5.

Dentro del contexto de reparto, por consiguiente, la fracción no es un número susceptible de ser generalizado, sino la expresión de una acción de reparto. Y en el reparto tal como ha sido expuesto sólo son admisibles las fracciones unitarias. Es por ello que, debido al origen de la fracción y a la limitación contextual del mismo, el egipcio nunca pudo superar la noción de la fracción en relación a la acción que la fundamenta.

Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Así Ahmes en el papiro Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en el pensamiento egipcio. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3

Cuando un egipcio se encontraba con una fracción 5/8 no pensaba ¿cómo puedo transformar 5/8 en una suma de fracciones unitarias?, sino que se limitaba a dividir 5 entre 8

¿Por qué emplearon el 2/3 como excepción?

Una de las acciones matemáticas frecuentes consistía en el cálculo de la capacidad de graneros y depósitos en general.Para ello muchas veces debían de hacer equivalencias entre unidades de medidas, era allí donde utilizaban 2/3;asi para los egipcios 2/3 no es una fracción expresión de un reparto, como en el caso de las fracciones unitarias, sino que tiene una naturaleza de tipo operativo: Es el operador por el que hay que multiplicar los “codos cúbicos” para obtener su expresión en “khar.

FUENTES:

http://personal.us.es/cmaza/egipto/fracciones.htm

http://www.egiptologia.org/ciencia/

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